Exercice 1
1. a) Énoncer et démontrer l'inégalité de Cauhy-Schwarz.
b) Cas d'égalité ?
2. Soit $E=\left\{f\in\mathcal C^0([a,b],\mathbb R,\ /\ \forall x\in[a,b],\ f(x)>0\right\}$ et $A=\left\{\displaystyle\int_a^bf(t)\,\mathrm dt\cdot \int_a^b\frac{1}{f(t)}\,\mathrm dt,\ f\in E\right\}$.
a) Montrer que $A$ admet une borne inférieure $m$.
b) Calculer $m$.
Exercice 2
1. a) Rayon de convergence de $\ \displaystyle\sum_{n\geqslant 1}\ln n\,x^n$ ?
b) Étude de la convergence pour $x=1.$
2. Démontrer la convergence normale sur $[-1,1]$ de $\ \displaystyle\sum_{n\geqslant 1}\left(\ln \left(1+\frac 1 n\right)-\frac 1 n\right)\,x^n$
3. En déduire que $\ (1-x)\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}\ln n\,x^n=-x\ln(1-x)+\mathrm O(1)\ $ quand $x\to 1^-.$
4. Trouver un équivalent de $\ \displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}\ln n\,x^n\ $quand $x\to 1^-.$
Indication(s) fournie(s) par l'examinateur pendant l'épreuve
Commentaires divers
Aucun commentaire posté pour le moment