Base d'épreuves orales scientifiques de concours aux grandes écoles

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Epreuve Orale 2402

Informations de classement de l'épreuve

Année : 2016

Filière : MP

Concours : ENS (non PSI)

Matière(s) concernée(s) : Mathématiques

Type(s) de sujet(s) : Exercice

Mots-clés relatifs au contenu de l'épreuve : Matrices symétriques - Valeur propre

Détails sur l'épreuve Sources

Énoncé(s) donné(s)
Soit $A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})$. Montrez que si $A$ possède une valeur propre imaginaire pure, alors il existe $S \in \mathcal{S}_n(\mathbb{R})$ telle que $S \neq 0$, $\operatorname{Sp}S \subset \mathbb{R}_+$ et $SA +\, ^t\!AS = 0$

Indication(s) fournie(s) par l'examinateur pendant l'épreuve
Considérer la matrice $X\,^t\!\bar{X}$ avec $X$ vecteur propre de $^t\!A$ associé à la valeur propre imaginaire pure de $A$
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