Exercice 1
1. Étudier la série de terme général $\left(\dfrac{1}{n\ln n}\right)_{n\geqslant 2}$.
2. On pose : $\forall n\geqslant 2,\ \forall x\in \mathbb R,\ f_n(x)=\dfrac{x\,\mathrm e^{-nx}}{\ln n}.$
On se propose d'étudier la série de fonctions de terme général $f_n.$
a) Étudier la convergence simple de la série.
b) Étudier la convergence normale sur $I=[0,+\infty[.$
c) Étudier la convergence normale sur $[a,b]\subset \left]0,+\infty\right[.$
d) Étudier la convergence uniforme sur $I$.
$\blacktriangleright$ Indication : On pourra étudier le reste et pour cela se servir de l'inégalité : $k\geqslant n\geqslant 2\Rightarrow \frac{1}{\ln k}\leqslant \frac{1}{\ln n}$.
Exercice 2 : exercice 91 de la banque CCP MP.
Indication(s) fournie(s) par l'examinateur pendant l'épreuve
Cf. ci-dessus.
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