Énoncé(s) donné(s)Soit $f$ une fonction continue d'un ouvert $U$ de $\mathbb{C}$ dans un $\mathbb{C}$-espace vectoriel $E$. Soit $\gamma$ : $\left[a,b\right]\rightarrow U$ de classe $\mathcal C^1$.
On définit : $\int_{\gamma}f(\zeta)\,\mathrm d\zeta$= $\int_{a}^{b}f(\gamma(t))\gamma'(t)\,\mathrm dt$.
Pour la suite, pour $r>0$, on note $\begin{array}[t]{cccl} \gamma_r:&[0,2\pi] & \longrightarrow &\mathbb R\\ &t&\longmapsto&r\mathrm e^{it}\end{array}$
1. Rappeler le théorème d'intégration terme à terme dans le cas d'une série de fonctions convergeant normalement.
2. Soit $f$ développable en série entière au voisinage de 0 et de rayon de convergence infini.
Montrer que : $\forall z\in\mathbb{C},\ f(z)=\frac{1}{2i\pi}\intop_{\gamma_r}\frac{f(\zeta)}{\zeta-z}\,\mathrm d\zeta$ pour $r>|z|$.
3. Soit $M\in \mathfrak M_{n}(\mathbb{R})$.
Montrer que $\exp(M)=\frac 1{2i\pi} \intop_{\gamma_r}\mathrm e^{\zeta}\left(\zeta I_{n}-M\right)^{-1}\,\mathrm d\zeta$ pour $r$ suffisamment grand (on précisera).
$\blacktriangleright$ Indication : commencer par le cas où la matrice est diagonale.
Indication(s) fournie(s) par l'examinateur pendant l'épreuve
Commentaires divers
3. L'indication était notée dans l'énoncé.
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