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Epreuve Orale 2318

Informations de classement de l'épreuve

Année : 2016

Filière : MP

Concours : Mines-Télécom (hors Mines-Ponts)

Matière(s) concernée(s) : Mathématiques

Type(s) de sujet(s) : Exercice - Question de cours

Mots-clés relatifs au contenu de l'épreuve : Analyse - Calcul différentiel - Fonction définie par une intégrale - Intégrabilité - Intégrales à paramètres

Détails sur l'épreuve Sources

Exercice 1 
Soit $f:x\mapsto \displaystyle\int _1^{+\infty}\frac{\mathrm e^{-xt}}{\sqrt{1+t^2}}\,\mathrm dt$.

1. Quel est le domaine de définition de $f$ ?
2. Pour $x\in\left]0,1\right[$, calculer $\displaystyle\int _x^1\frac{\mathrm du}{\sqrt{u^2+x^2}}$. On pourra faire le changement de variable $u=\frac{t}{x}$ et utiliser la fonction $t\mapsto \ln(t+\sqrt{1+t^2}).$
3. Montrer que $\displaystyle\int _x^1\frac{\mathrm du}{\sqrt{u^2+x^2}}\sim -\ln x$ quand $x\to 0^+.$
4. Montrer que $f(x)\sim -\ln x$ quand $x\to 0^+.$

Exercice 2
Énoncer et démontrer le théorème du rang.

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