Énoncé(s) donné(s)
Exercice avec préparation
Soit $\phi(x)=\exp(\exp(x)-1)$.
On admet le DL suivant : $\phi(x)= 1+x+x^2+\frac{5}{6}x^3 + o(x^3)$.
- Calculer $\phi^{(n)}(0)$ pour $n\in\{0,1,2,3\}$
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On définit, par récurrence la suite $(P_n)$, par : $P_0=1\:, \:\forall n\in\mathbb{N}, P_{n+1} = \displaystyle\sum_{k=0}^n \binom{n}{k} P_k$ Calculer $P_1$, $P_2$ et $P_3$
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Montrer que $P_n\leqslant n!$
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Soit $f(x)=\displaystyle \sum_{n=0}^\infty \dfrac{P_n}{n!}x^n$ Montrer que le rayon de convergence de $f$ est différent de 0.
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Prouver que $f^\prime (x)= \exp(x)\times f(x)$
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En déduire le DSE de $\phi$.
Exercice sans préparation
Dans $\mathbb{R}^3$, on considère $p$ le projeté orthogonal sur le plan $\mathcal{P}$ d'équation $x+y+z=0$.
Déterminer la matrice de $p$, la projection orthogonale sur le plan P, puis celle de la symétrie orthogonale par rapport à P à partir de celle de la projection.
Indication(s) fournie(s) par l'examinateur pendant l'épreuve
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