Énoncé(s) donné(s) 15 minutes de préparation pour l'exercice 1 Exercice 1 1) Soit $n \in \mathbb{N}, \: n \geqslant 1$. Montrer que si $2^n+1$ est premier, alors il existe $p \in \mathbb{N}$ tel que $n=2^{p}$. 2) On pose $f_p=2^{2^{p}}+1$ pour tout $p \in \mathbb{N}$. Montrer que : $\forall \ p,q \in \mathbb{N}, \: p \neq q \Rightarrow f_p \: \wedge \: f_q=1$. 3) En déduire qu'il existe une infinité de nombres premiers.
Exercice 2 Soit $f$ une fonction de $[0,1]$ dans $\mathbb{R}_+$ dérivable en $0$ telle que $f (0)=0.$ Calculer $\displaystyle \lim_{n \to +\infty} \sum_{k=1}^{n}f \left ( \dfrac{k}{n^2} \right )$.
Indication(s) fournie(s) par l'examinateur pendant l'épreuve
L'examinateur m'a proposé de raisonner par contraposée pour la question 1 de l'exercice 1. Pour l'exercice 2, l'examinateur m'a fait écrire $\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{f(x)}{x}=f'(0)$. Commentaires divers
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