Soit $A\in\mathfrak M_n(\mathbb C)$ telle que pour tout $X$ dans $\mathfrak M_n(\mathbb C)$, $\det(A+X) = \det A + \det X$ (on suppose $n\geqslant 2$).
1) Montrer que $A$ est non inversible.
2) Montrer que $A$ est nulle.
Exercice 2
1) Soit $a$ un complexe de partie réelle strictement positive, $f$ de classe $\mathcal C^1$ de $\mathbb R_+$ dans $\mathbb C$, telle que $f '(t) + a f(t)$ admet une limite nulle lorsque $t$ tend vers $+\infty.$
Montrer que $f(t)$ admet une limite nulle lorsque $t$ tend vers $+\infty.$
2) Soit $f$ de classe $\mathcal C^2$ de $\mathbb R_+$ dans $\mathbb C$, telle que $f''(t) + f '(t) + f(t)$ admet une limite nulle lorsque $t$ tend vers $+\infty.$
Même question.
3) Généralisation.
Indication(s) fournie(s) par l'examinateur pendant l'épreuve
I.2) Utilisez la notion d'équivalence de matrices.
II.2) Avant 2, il y a 1 : ne cherchez plus à résoudre d'équation différentielle...
Commentaires divers
Seul l'énoncé du 1er exercice m'était fourni pendant la préparation.
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