Énoncé(s) donné(s)
Soit L un langage. On note $\frac{1}{2}L=\left\{u\:\big/\:\exists v,\: (uv)\in L \quad\text{et}\quad |u|=\frac{1}{2}|uv|\right\}$
Question 1 : Un exemple, déterminer $\frac{1}{2}L$ pour $L=(a(aba+bab))^{*}$.
Question 2 : Montrer que, si L est régulier, $\frac{1}{2}L$ est régulier. Quid de la réciproque ?
Question 3 : On note, pour $r\in\mathbb{N}^{*}, \frac{1}{r}L=\left\{u\:\big/\:\exists v,\: (uv)\in L\quad\text{et}\quad|u|=\frac{1}{r}|uv|\right\}$ Montrer que si L est régulier, alors $\frac{1}{r}L$ est régulier.
Question 4 : Soient $p$ et $q$ deux entiers premiers entre eux. On note $\frac{p}{q}L=\left\{u\:\big/\:\exists v, \: (uv)\in L\quad\text{et}\quad|u|=\frac{p}{q}|uv|\right\}$. Montrer que si $L$ est régulier, alors $\frac{p}{q}L$ est régulier.
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