Base d'épreuves orales scientifiques de concours aux grandes écoles

Énoncé(s) donné(s)

$\ex 1$   (avec préparation de 20 mn)

a) Soit $f$ une fonction de classe $\mathcal{C}^1$, à valeurs dans $\mathbb{C}$, et $a\in\mathbb{C}$ tel que $\text{Re}(a)>0$. On suppose que $f'(t)+a*f(t)$ tend vers $0$ quand $t\to +\infty$.
    Montrer que $f$ tend également vers $0$ lorsque $t\to +\infty$.

b) Soit $f$ une fonction de classe $\mathcal{C}^2$, à valeurs dans $\mathbb{C}$ telle que $f''(t)+f'(t)+f(t)$ tend vers $0$ quand $t\to +\infty$.
    Montrer que $f$ tend également vers $0$ lorsque $t\to +\infty$.

$\ex 2$   (sans préparation)

Calculer  $\displaystyle \prod_{k=1}^{n}{\frac{1}{1-\mathrm e^{\frac{2ik\pi}{n}}}}$.