Base d'épreuves orales scientifiques de concours aux grandes écoles

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Epreuve Orale 193

Informations de classement de l'épreuve

Année : 2012

Filière : PSI

Concours : CCINP (ou CCP)

Matière(s) concernée(s) : Mathématiques

Type(s) de sujet(s) : Exercice

Mots-clés relatifs au contenu de l'épreuve : Algèbre linéaire

Détails sur l'épreuve Sources

Énoncé(s) donné(s)

On considère un endomorphisme $f \ne 0$ de $\mathbb{R}^3$ tel que $f^3+f=0$.

i) Montrer que $\mathbb{R}^3$ est la somme directe de $Ker(f)$ et de $Ker(f²+Id)$.

ii)
Pour $x\ne 0$ dans$Ker(f²+Id)$, montrer que $(x,f(x))$ forme une famille libre.

iii)
Donner la dimension de $Ker(f)$ et de $Ker(f²+Id)$.

iv)
Montrer qu'il existe une base dans laquelle la matrice de $f$ s'écrit $\begin{pmatrix}1&0&0\\0&0&-1\\0&1&0 \end{pmatrix}$.

v)
Résoudre l'équation $u²=f$.

Indication(s) fournie(s) par l'examinateur pendant l'épreuve
N.C.
Commentaires divers
N.C.

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