Base d'épreuves orales scientifiques de concours aux grandes écoles

Soit $(u)$ une suite telle que la série de terme général $u_n$ soit absolument convergente.

i) Pour $\lambda$ dans $]0;1[$ et pour $k \in \mathbb{N}$, calculer $\sum_{n=k}^{+\infty} \binom{n}{k} (1-\lambda)^{n-k}$.

ii) On pose $v_n= \sum_{k=0}^n \binom{n}{k}\lambda^k  (1-\lambda)^{n-k} u_k$. Montrer que la série de terme général $v_n$ converge et que sa somme est égale à $\frac{1}{\lambda}\sum_{n\in\mathbb{N}}u_n$.