Énoncé(s) donné(s)
Exercice 1 :
Soient $E=C[X]$, $P=\sum_{k=0}^n a_k X^k$, $||P||_1=\sum_{k=0}^n |a_k|$ et $||P||_2=\sup |a_k|$.
a) Montrer que les 2 normes ne sont pas équivalentes.
b) Montrer que $(C[X],||.||_2)$ n'est pas complet.
Exercice 2 :
Pour tout $t$, considérons la droite $(1-t²)y+2tx=2t-4$. Montrer qu'il existe un point équidistant de toutes ces droites.
Exercice 3 :
Soit A une matrice symétrique, réelle, dont le spectre est dans $\mathbb{R}^{+*}$. Soit $U_n$ la suite définie par : $U_0=I_p$ et $U_{n+1}=\frac{1}{2}(U_n+AU_n^{-1})$
a) Montrer que $U_n$ est bien définie.
b) Montrer que $A^{-1}$ est une polynome en A.
c) Convergence de $U_n$.
Indication(s) fournie(s) par l'examinateur pendant l'épreuve
N.C.
Commentaires divers
Le premier fut avec 15 minutes de préparation ; les deux suivants furent sans préparation.
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