Base d'épreuves orales scientifiques de concours aux grandes écoles

Énoncé(s) donné(s)
Soit $g$ un homéomorphisme de $\mathbf{R}$ (ie. une application de $\mathbf{R}$ dans $\mathbf{R}$ continue, bijective et dont la bijection réciproque est contiune) telle que $g \circ g = id \neq g$. Montrer qu'il existe un homéomorphisme $h$ de $\mathbf{R}$ tel que $h \circ g \circ h^{-1} = - id$.

Indication(s) fournie(s) par l'examinateur pendant l'épreuve

Montrer que $g$ admet un unique point fixe.

Comment se ramener au cas où $g(0) = 0$ ?

Y a t-il beaucoup de solutions ? Que se passe t-il pour $g = -id$ ?

Si on fixe $h(x) = x$ sur $\mathbf{R}_{-}$, ...
Commentaires divers
C'était un oral de 45 minutes, sans préparation.

L'examinateur m'a laissé réfléchir quelques minutes au début, puis il m'aidait quand je bloquais.