Epreuve Orale 137

Informations de classement de l'épreuve
Année : 
2011 ou avant
Filière : 
TSI
Concours : 
Centrale-Supélec
Matière(s) concernée(s) : 
Mathématiques
Type(s) de sujet(s) : 
Exercice
Mots-clés relatifs au contenu de l'épreuve : 
Equations différentielles, Série entière
Détails sur l'épreuve
Énoncé(s) donné(s)

On considère l'équation différentielle   $(1+x^2)y''-2y=0$.

On cherche une solution  $S$  sous la forme d'une série entière    $S(x)=\sum\limits_{n=0}^{+\infty} \, a_nx^n$ .

1. Le logiciel fourni donne-t-il les solutions de cette équation?

2. On suppose que  $S$  est solution.
Montrer que   $(n+2)(n+1)a_{n+2}+(n^2-n-2)a_n\,=\,0$.
Peut-on simplifier cette égalité?

3. Montrer que  $\forall n\geq 2\hspace{.5 cm} a_{2n}=0$ .

4. On suppose que  $S(0)=0$  et  $S'(0)=1$.
Déterminer la valeur de  $a_n$  pour tout entier  $n$.
Préciser le rayon de convergence de la série entière.

5. On pose  $T(0)=0$  et  $T(x)=\dfrac{S(x)-1}{x}$  où  $S$  est la série entière trouvée plus haut.
Calculer la dérivée  $T'$  de  $T$ .  (On trouvera une fraction rationnelle simple).
Trouver la solution  $S$ ,  en utilisant éventuellement le logiciel fourni pour les calculs de primitives.

Indication(s) fournie(s) par l'examinateur pendant l'épreuve


Commentaires divers

  Deuxième épreuve, logiciel de calcul formel à disposition.

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