Énoncé(s) donné(s)
On considère l'équation différentielle $(1+x^2)y''-2y=0$.
On cherche une solution $S$ sous la forme d'une série entière $S(x)=\sum\limits_{n=0}^{+\infty} \, a_nx^n$ .
1. Le logiciel fourni donne-t-il les solutions de cette équation?
2. On suppose que $S$ est solution.
Montrer que $(n+2)(n+1)a_{n+2}+(n^2-n-2)a_n\,=\,0$.
Peut-on simplifier cette égalité?
3. Montrer que $\forall n\geq 2\hspace{.5 cm} a_{2n}=0$ .
4. On suppose que $S(0)=0$ et $S'(0)=1$.
Déterminer la valeur de $a_n$ pour tout entier $n$.
Préciser le rayon de convergence de la série entière.
5. On pose $T(0)=0$ et $T(x)=\dfrac{S(x)-1}{x}$ où $S$ est la série entière trouvée plus haut.
Calculer la dérivée $T'$ de $T$ . (On trouvera une fraction rationnelle simple).
Trouver la solution $S$ , en utilisant éventuellement le logiciel fourni pour les calculs de primitives.
Indication(s) fournie(s) par l'examinateur pendant l'épreuve
Commentaires divers
Deuxième épreuve, logiciel de calcul formel à disposition.
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