Énoncé(s) donné(s)
CENTRALE 1 2011 - Exemples de planches (source: site du concours).
Exercice avec préparation:Soit $\alpha\in{\mathbb R}\setminus{\mathbb Z}$. On définit l'application $f_\alpha:{\mathbb R}\to{\mathbb R}$, $2\pi$-périodique par :
$\forall t\in ] -\pi,\pi ] ,\hspace{5mm} f_\alpha( t ) = \cos(\alpha t)$.
1. Dans cette question, on prend $\alpha = \dfrac{1}{4}$. Représenter graphiquement la restriction de $f_\alpha$ à l'intervalle $[-2\pi, 2\pi ]$.
On reprend $\alpha\in{\mathbb R}\setminus{\mathbb Z}$ quelconque.
2. Démontrer que $f_\alpha$ est paire.
3. Calculer les coefficients trigonométriques de $f_\alpha$.
4. Montrer que pour tout $x\in{\mathbb R}\setminus\pi{\mathbb Z}$, on a: ${\rm cotan}(x) \,=\,\dfrac{1}{x} - \sum\limits_{n=1}^{+\infty}\, \dfrac{2x}{n^2\pi^2 - x^2}$.
On rappelle que pour tout $x\in{\mathbb R}$ tel que $\sin x \neq 0$, ${\rm cotan}(x) = \dfrac{\cos x}{\sin x}$.
Exercice sans préparationLa matrice $\begin{pmatrix}
\phantom{-}1&\phantom{-}1&\phantom{-}1\\
\phantom{-}1&\phantom{-}1&\phantom{-}1\\
-2&-2&-2\end{pmatrix}$ est-elle inversible? Diagonalisable? Trigonalisable?
Indication(s) fournie(s) par l'examinateur pendant l'épreuve
Commentaires divers
Première épreuve de CCS, sans calculatrice.
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