Base d'épreuves orales scientifiques de concours aux grandes écoles

Énoncé(s) donné(s)

CENTRALE 1  2011 - Exemples de planches (source: site du concours).

Exercice avec préparation:

On considère les deux surfaces dans ${\mathbb R}^3$
$\mathcal{S}_1 \,= \, \{ (x,y,\,z)\in{\mathbb R}^3 \,;\enspace x \sin z = y \cos z\}$
$\mathcal{S}_2 \, = \, \{ ( x, y, \,z ) \in {\mathbb R}^3\,;\enspace x^2 + y^2 = 1 \}$.

1.1. Représenter  $\mathcal{S}_2$.
1.2. Écrire des équations des plans tangents à ces surfaces au point  $A \,=\, \left(\dfrac{1}{2},\, \dfrac{\sqrt{3}}{2},\, \dfrac{\pi}{3}\right)$.

2.1. Définir deux courbes  $\gamma_1$  et  $\gamma_2$  vérifiant:     $\left\{\begin{array}{l}
\gamma_1 \cup \gamma_2 \,=\, \mathcal{S}_1 \cap \mathcal{S}_2\\[.7mm]
\gamma_1 \cap \gamma_2 \,=\, \emptyset \\[.7mm]
A \in \gamma_1\,.
\end{array}
\right.$
2.2. Dessiner  $\gamma_1$.  Déterminer la tangente en A à  $\gamma_1$.

Soit  $F : {\mathbb R}^3\to{\mathbb R}^3$  définie sur  ${\mathbb R}^3$  par   $F(x,y,\,z) \,=\,\left(\dfrac{-x}{x^2+y^2}\,\, ,\,\, \dfrac{-y}{x^2+y^2}\,\,,\,\,z\right)$.

3. Quel est l'ensemble de définition  $\mathcal{U}$  de  $F$?  Contient-il  $\mathcal{S}_1$ ?   $\mathcal{S}_2$ ?

4. Montrer que  $F$  est bijectif de  $\mathcal{U}$  sur  $\mathcal{U}$  et de classe  $\cal{C}^1$ .
Écrire sa matrice jacobienne au point  $A$.

5. Donner des équations des plans tangents en  $F(A)$  aux surfaces  $F(\mathcal{S}_1\cap \mathcal{U})$  et  $F(\mathcal{S}_2)$.

6. Identifier la courbe  $F\circ\gamma_1$  et définir sa tangente au point  $F(A)$.


Exercice sans préparation:

Écrire la matrice, relativement à la base canonique de  ${\mathbb R}^3$,
de la projection orthogonale sur la droite dirigée par le vecteur  $\vec{u} = \begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix}$.

Indication(s) fournie(s) par l'examinateur pendant l'épreuve


Commentaires divers

Première épreuve de l'oral de centrale; calculatrice interdite.

Les sujets du concours sont des œuvres collectives des membres du jury. En tant que tels, ils appartiennent au Concours Centrale-Supélec et sont publiés sur ce site sous la licence Creative Commons Paternité-Pas d'Utilisation Commerciale-Partage des Conditions Initiales à l'Identique.

Cela signifie que vous pouvez librement reproduire, distribuer, communiquer ou modifier un sujet à condition de :

• mentionner qu'il s'agit d'un sujet du Concours Centrale-Supélec ;
• ne pas en faire d'usage commercial ;
• redistribuer toute version transformée, modifiée ou adaptée d'un sujet sous une licence identique à celle-ci.

Tout autre usage est soumis à l'autorisation préalable du Concours Centrale-Supélec.

Fichiers joints

• tsi-mat1-2011-02.pdf