Epreuve Orale 129
Informations de classement de l'épreuve
Année : 2011 ou avant
Filière : TSI
Concours : CCINP (ou CCP)
Matière(s) concernée(s) : Mathématiques
Type(s) de sujet(s) : Exercice
Mots-clés relatifs au contenu de l'épreuve : Espaces préhilbertiens réels - Séries de Fourier
Détails sur l'épreuve
Sources
Énoncé(s) donné(s)
CCP 2011
Exercice 1
On note $E=\mathbb{R}_2[X]$ et $\phi:\left|\begin{array}{l}
E\times E\to \mathbb{R}\\
(P,Q)\mapsto P(-1)Q(-1)+P'(0)Q'(0)+P''(0)Q''(0)
\end{array}
\right.$.
1. Montrer que $\phi$ est un produit scalaire de $E$.
2. Déterminer une base orthonormée de $E$ pour ce produit scalaire.
3. Calculer la distance de $X^2$ à $\mathbb{R}_1[X]$.
Exercice 2
On pose: $\forall x\in\mathbb{R}\quad f(x)=|\sin(x)|$.
1. Tracer le graphe de $f$.
2. D'après le graphe, $f$ est-elle continue? De classe $\cal{C}^1$? De classe $\cal{C}^1$ par morceaux?
3. Montrer que $f$ est $\pi$-périodique. Quelle est sa parité?
4. Calculer les coefficients de Fourier de $f$.
5. Etudier la convergence de la série de Fourier de $f$.
6. En déduire $\sum\limits_{n=1}^{+\infty}\dfrac{1}{1-4n^2}$ et $\sum\limits_{n=1}^{+\infty}\dfrac{1}{(1-4n^2)^2}$.
Indication(s) fournie(s) par l'examinateur pendant l'épreuve
Commentaires divers
CCP 2011, calculatrice autorisée, logiciel de calcul formel à disposition.
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