Base d'épreuves orales scientifiques de concours aux grandes écoles

Énoncé(s) donné(s)

Exercice 1

$(\cal{C}):\left\{\begin{array}{l}
x(t)\,=\, \sin 2t\\[.7mm]
y(t)\,=\, 1+ \cos 2t\\[.7mm]
\,z(t)\,=\, 2 \sin t\,.
\end{array}
\right.$

1. Montrer que  $(\cal{C})$  est contenue dans  $\mathcal{S}_{O,r}$:  sphère de centre  $O$  et de rayon  $r$,
que l'on déterminera.

2. Montrer que pour tout  $(a,b)\in\mathbb{R}^2$  et  $R\in\mathbb{R}^+$,
$(\cal{C})$ est contenue dans $\mathcal{S}_{a,b,R}: \, (x-a)^2+(y-b)^2\, = \, R^2\quad\enspace \Leftrightarrow\quad\enspace \left\{\begin{array}{l}
a\,=\, 0\\[.7mm]
b\,=\, 1\\[.7mm]
R\,=\, 1\,.
\end{array}\right.$.

3. Donner une représentation paramétrique du cyindre de directrice  $(\cal{C})$  et de génératrices parallèles à  $(Ox)$. En déterminer une équation cartésienne et une section droite.

4. Montrer que $(\cal{C})$  est contenue dans toute quadrique de la forme
$\mathcal{Q}_{\alpha,\beta}: \, \alpha x^2+\alpha y^2-2(\alpha-\beta)y+\beta\, z^2-4\beta\,=\,0$.
 

Exercice 2

Question complémentaire (sans préparation):  Montrer que  $\int_0^{+\infty} \ln\left(1+\dfrac{1}{x^2}\right) {\rm d} x $  converge.

Indication(s) fournie(s) par l'examinateur pendant l'épreuve


Commentaires divers

Premier oral de math de Centrale: calculatrice interdite.