Base d'épreuves orales scientifiques de concours aux grandes écoles

Énoncé(s) donné(s)
I- (sur 8 points) Exercice 39 d'algèbre de la banque :
Soient $F (\mathbb{R}, \mathbb{R})$ l'espace vectoriel des applications de $\mathbb{R}$ dans $\mathbb{R}$, $E$ le sous-espace engendré par
les cinq applications :
$f_1 \: : \: x \longmapsto \frac{1}{\sqrt{2}}, \; \;
f_2 \: : \: x \longmapsto \cos x , \; \;
f_3 \: : \: x \longmapsto \sin x , \; \;
f_4 \: : \: x \longmapsto \cos(2x) , \; \;
f_5 \: : \: x \longmapsto \sin(2x)$
et $F$ le sous-espace vectoriel engendré par $f_1$, $f_2$, $f_3$ : $F = Vect (f_1, \, f_2, \, f_3)$.

1. Démontrez que $(f | g) =  \frac{1}{\pi} \int_{- \pi}^{\pi} f (x) g (x) \, dx$ définit un produit scalaire sur $E$.
2. Vérifiez que $f_4$ et $f_5$ sont unitaires et orthogonaux.
   On admettra pour la suite que $B =  (f_i)_{i=1, \cdots, 5}$ est une base orthonormée de $E$.
   
3. Déterminez le sous-espace vectoriel $F^{\perp}$, orthogonal de $F$ pour ce produit scalaire.
   

II- (sur 12 points)

1. Résoudre l'équation différentielle $y'' + \, 4y=0$.
2. Soit $g \in C^0 (\mathbb{R}, \, \mathbb{R})$ et soit $h \: : \: x \longmapsto \frac{1}{2} \int_0^x g(t) \, \sin (2x -t) \, dt$.
   Montrer que $h''+ \, 4h = g$.
   Résoudre ensuite l'équation différentielle $y'' + \, 4y=g$.
3. Soit $f \in C^2 ( \mathbb{R}, \, \mathbb{R})$ telle que $f'' + 4f >0$. Montrer que $\forall x \in \mathbb{R}$, $f(x) + \: f(x + \pi/2) >0$.

Indication(s) fournie(s) par l'examinateur pendant l'épreuve
N.C.
Commentaires divers
N.C.