Énoncé(s) donné(s)
Pour tout $n \in \mathbb{N}$, le $n^{me}$ nombre de Catalan, noté $C_n$ est défini par $C_n = \frac{1}{n+1} \pmatrix{2n\cr n\cr}$. On définit aussi $f(x) = \sum_{n=0}^{+ \infty} \frac{x^n}{C_n}$.
1-a- Avec Maple : écrire une fonction qui à $n$ renvoie $C_n$.
1-b- Vérifier que $\forall n, \; C_{n+1}/C_n = 2 (2n+1)/(n+2)$. Que peut-on en déduire sur le rayon de convergence $R$ de $f$ ?
1-c- A l'aide du programme Maple du (a), donner les valeurs de $C_n$ pour $0 \leq n \leq 10$ ; vérifier que $C_{10}=16796$. Déterminer un équivalent de $C_n$ quand $n \longrightarrow + \infty$.
1-d- Donner l'expression de $f(x)$.
2- Montrer que $f$ est solution de l'équation différentielle $(E) : \: x (x-4) y'(x) + \: 2 (x+1) \, y(x) = \: 2$.
3-a- Montrer que les solutions de $(E)$ dans $]0,4[$ s'écrivent sous la forme
$y : \: x \longmapsto (-2 (4 x-32+ x^2)/(x \, (4-x))^{1/2} +\: 12 \arcsin(x/2 -1)+ \: \lambda ) \, \sqrt{x}/(4-x)^{5/2}$, avec $\lambda \in\mathbb{R}$.
3-b- Question de cours sur équations différentielles linéaires, non linéaires.
3-c- Que vaut $f(1)$ ?
3-d- Déterminer $f$.
Indication(s) fournie(s) par l'examinateur pendant l'épreuve
N.C.
Commentaires divers
Oral avec Maple
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