Epreuve Orale 102

Informations de classement de l'épreuve
Année : 
2012
Filière : 
MP
Concours : 
Centrale-Supélec
Matière(s) concernée(s) : 
Mathématiques
Type(s) de sujet(s) : 
Exercice
Mots-clés relatifs au contenu de l'épreuve : 
Topologie
Détails sur l'épreuve
Énoncé(s) donné(s)
Pour $n \in \mathbb{N}^*$, on munit $\mathbb{R}^n$ de son produit scalaire canonique.
  1. Déterminer les parties convexes de $\mathbb{R}$.
  2. Soit $K_0$ et $K_1$ deux parties convexes de $\mathbb{R}^n$ et soit $\theta \in [0,1]$. Montrer que $\theta \, K_0 + \: (1 - \theta) \, K_1$ est aussi un convexe de $\mathbb{R}^n$.
    Soit $K$ un convexe de $\mathbb{R}^n$. On pose $K^* = \: \{ y \in \mathbb{R}^n, \; \forall x \in K, \; <x|y> \leq 1 \}$.  Montrer que $\forall A \in GL_n(\mathbb{R})$, $(A(K))^* = \: ^tA^{-1} (K^*)$.
  3. Soit $K$ un convexe compact non vide de $\mathbb{R}^n$, contenant une boule ouverte de centre 0. Montrer que pour tout $x \in \mathbb{R}^n$, $I_x = \: \{ \lambda \in \mathbb{R}^+, \; \exists y \in K, \; x = \, \lambda y \}$ est un intervalle non majoré de $\mathbb{R}$.

Indication(s) fournie(s) par l'examinateur pendant l'épreuve

N.C.
Commentaires divers
Il y avait encore deux autres questions, que mon élève a oubliées...
Qualité de ce compte-rendu
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