Énoncé(s) donné(s)
Soit $E$ le $\mathbb{R}$-espace vectoriel des fonctions continues, $2 \pi$-périodiques et paires de $\mathbb{R}$ dans $\mathbb{R}$.
Soit $g : \: x \longmapsto \sum_{n=1}^{+ \infty} \frac{\cos (nx)}{n^2}$. Montrer que $g \in E$.
Pour tout $f \in E$, on définit la fonction $\Phi (f) : \: x \longmapsto \frac{1}{\pi} \int_0^{2 \pi} g(x-t) \, f(t) \, dt$. Montrer que $\Phi \in L(E)$.
Montrer que $\forall f \in E$, $\Phi (f)$ coïncide avec sa série de Fourier sur $\mathbb{R}$.
Déterminer les $a_n (\Phi (f))$ en fonction des $a_n(f)$.
Déterminer le noyau de $\Phi$.
Indication(s) fournie(s) par l'examinateur pendant l'épreuve
N.C. Commentaires divers
N.C.
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