Epreuve Orale 101

Informations de classement de l'épreuve
Année : 
2012
Filière : 
MP
Concours : 
ENSEA/ENSIIE
Matière(s) concernée(s) : 
Mathématiques
Type(s) de sujet(s) : 
Exercice
Mots-clés relatifs au contenu de l'épreuve : 
Séries de Fourier
Détails sur l'épreuve
Énoncé(s) donné(s)
Soit $E$ le $\mathbb{R}$-espace vectoriel des fonctions continues, $2 \pi$-périodiques et paires de $\mathbb{R}$ dans $\mathbb{R}$.
  1. Soit $g : \: x \longmapsto \sum_{n=1}^{+ \infty} \frac{\cos (nx)}{n^2}$. Montrer que $g \in E$.
  2. Pour tout $f \in E$, on définit la fonction $\Phi (f)  : \: x \longmapsto \frac{1}{\pi} \int_0^{2 \pi} g(x-t) \, f(t) \, dt$. Montrer que $\Phi \in L(E)$.
  3. Montrer que $\forall f \in E$, $\Phi (f)$ coïncide avec sa série de Fourier sur $\mathbb{R}$.
  4. Déterminer les $a_n (\Phi (f))$ en fonction des $a_n(f)$.
  5. Déterminer le noyau de $\Phi$.

Indication(s) fournie(s) par l'examinateur pendant l'épreuve
N.C.
Commentaires divers
N.C.
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