Base d'épreuves orales scientifiques de concours aux grandes écoles

Échangeons, communiquons ...

Epreuve Orale 950

Informations de classement de l'épreuve

Année : 2014

Filière : MP

Concours : CCINP (ou CCP)

Matière(s) concernée(s) : Mathématiques

Type(s) de sujet(s) : Exercice - Question de cours

Mots-clés relatifs au contenu de l'épreuve : Adhérence - Application linéaire - Topologie

Détails sur l'épreuve Sources

Énoncé(s) donné(s)
Exercice 1 :
Soit $A$ une partie non vide d'un espace vectoriel normé $E$.
  1. Montrer que : $ x \in \overline A \quad \Leftrightarrow \quad \Big( \; \exists (x_n)_{n \in \mathbb N} \in A^{\mathbb N} : \lim_{n \mapsto + \infty} x_n = x \; \Big)$.
  2. On suppose que $A$ est un sous-espace vectoriel de $E$. Montrer que $\overline A$ est un sous-espace vectoriel de $E$.


Exercice 2 :

Soient $n \in \mathbb N ^\ast$ et $A \in \mathcal M_n( \mathbb C )$. On suppose que $\mathrm{tr}(A)  \not = 0$.

On définit l'application $\begin{array}[t]{ccccc} f & : & \mathcal M_n( \mathbb C ) & \to & \mathcal M_n( \mathbb C ) \\ & & M & \mapsto &\mathrm{tr}(A)M - \mathrm{tr}(M)A \end{array}$.

  1. Montrer que $f$ est un endomorphisme de $\mathcal M_n( \mathbb C )$.
  2. Déterminer le noyau et l'image de $f$.
  3. Établir que $f$ est diagonalisable.

Indication(s) fournie(s) par l'examinateur pendant l'épreuve
N.C.
Commentaires divers
Un examinateur extrêmement tatillon, qui pose des questions parfois très surprenantes suite à des remarques orales de l'élève : pourquoi toute suite convergente à valeurs dans un fermé converge dans ce fermé ? pourquoi $f$ est à valeur dans $\mathcal M_n( \mathbb C )$ ? pourquoi $f(A) = 0$ ? pourquoi toutes les matrices ne sont pas de trace nulle ?...

Commentaires

Aucun commentaire posté pour le moment