Énoncé(s) donné(s)
Exercice 1 :
Soit $A$ une partie non vide d'un espace vectoriel normé $E$.
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Montrer que : $ x \in \overline A \quad \Leftrightarrow \quad \Big( \; \exists (x_n)_{n \in \mathbb N} \in A^{\mathbb N} : \lim_{n \mapsto + \infty} x_n = x \; \Big)$.
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On suppose que $A$ est un sous-espace vectoriel de $E$. Montrer que $\overline A$ est un sous-espace vectoriel de $E$.
Exercice 2 :
Soient $n \in \mathbb N ^\ast$ et $A \in \mathcal M_n( \mathbb C )$. On suppose que $\mathrm{tr}(A) \not = 0$.
On définit l'application $\begin{array}[t]{ccccc} f & : & \mathcal M_n( \mathbb C ) & \to & \mathcal M_n( \mathbb C ) \\ & & M & \mapsto &\mathrm{tr}(A)M - \mathrm{tr}(M)A \end{array}$.
- Montrer que $f$ est un endomorphisme de $\mathcal M_n( \mathbb C )$.
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Déterminer le noyau et l'image de $f$.
- Établir que $f$ est diagonalisable.
Indication(s) fournie(s) par l'examinateur pendant l'épreuve
N.C.
Commentaires divers
Un examinateur extrêmement tatillon, qui pose des questions parfois très surprenantes suite à des remarques orales de l'élève : pourquoi toute suite convergente à valeurs dans un fermé converge dans ce fermé ? pourquoi $f$ est à valeur dans $\mathcal M_n( \mathbb C )$ ? pourquoi $f(A) = 0$ ? pourquoi toutes les matrices ne sont pas de trace nulle ?...
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