Énoncé(s) donné(s)
On se donne $p \in \mathbb N^*$ et $A \in \mathcal M_p ( \mathbb R )$.
On définit l'application : $\begin{array}[t]{ccccc} \Delta & : & \mathcal M_p ( \mathbb R ) & \to & \mathcal M_p ( \mathbb R ) \\ & & M & \mapsto &AM - MA \end{array}$
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Montrer que $\Delta$ est un endomorphisme de $\mathcal M_p ( \mathbb R )$. Montrer que pour tout $n \in \mathbb N$ :
$\forall (M, N ) \in \mathcal M_p ( \mathbb R )^2 \quad : \quad \Delta^n(MN) = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} \Delta^k(M) \Delta^{n-k}(N)$ -
Dans toute la suite de l'exercice, on considère une matrice $B \in \mathcal M_p ( \mathbb R )$ commutant avec $A$ et telle qu'il existe $H \in \mathcal M_p ( \mathbb R )$ vérifiant $B = \Delta(H)$.
Vérifier que $\Delta^2(H) = 0$. En déduire que pour tout $n \in \mathbb N ^*$ : $\Delta^{n+1}(H^n) = 0$. -
Montrer que pour tout $n \in \mathbb N$ : $ \Delta ^n(H^n) = n! \times B^n $.
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En déduire que pour toute norme $ \| \cdot \|$ de $\mathcal M_p ( \mathbb R )$ : $\lim_{n \to + \infty} \|B^n \|^{\frac 1 n } = 0$.
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En déduire que $B$ est nilpotente.
Indication(s) fournie(s) par l'examinateur pendant l'épreuve
Pour la question 4., faire apparaitre $||| \Delta |||$.
Commentaires divers
N.C.
11/07/2014 à 10:44