Énoncé(s) donné(s)
Soit $f : \mathbb R \to \mathbb R$ une fonction continue et bornée.
On définit pour tout $k \in \mathbb Z$ : $f_k : x \mapsto f(x+k)$.
On suppose que $\text{Vect}\left((f_k)_{k \in \mathbb Z}\right)$ est de dimension finie.
Que dire de $f$ ?
Indication(s) fournie(s) par l'examinateur pendant l'épreuve
Après 15 minutes de réflexion personnelle, l'examinateur a précisé le résultat qu'il attendait : montrer qu'il existe $n \in \mathbb N$ tel que : $\forall x \in \mathbb R : f(x) = \sum_{j = 1}^n e^{i \lambda_j x} g_j(x) $ où les $\lambda_j$ sont réels et les $g_j$ sont des fonctions $1-$périodiques.
Montrer que si $f$ est périodique et de période entière, alors $f$ s'écrit bien sous cette forme.
Considérer l'application $T : \varphi \mapsto \varphi( \text{id} +1 )$ pour conclure dans le cas général.
Commentaires divers
On ne cherchera pas à exhiber explicitement les $\lambda_j$ et les $g_j$.
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