On considère l'endomorphisme $\varphi$ de $\mathbb{R}_n[X]$ tel que : $\varphi{}:P(X)\mapsto{}P(X+1)$.
2) Déterminer la matrice associé à $\varphi^{-1}$ relativement à la base canonique de $\mathbb{R}_n[X]$.
Exercice 2 :
Soit la suite $(s_n)$ définie par : $\forall{}n\in\mathbb{N}^{*}$, $s_n=\displaystyle \sum_{k=1}^{n}{(-1)^{k}\sqrt{k}}$.
On définit la suite $(t_n)$ par : $\forall{}n\in\mathbb{N}^{*}$, $t_n=s_{n+1}+s_n$.
1) Montrer que la suite $(t_n)$ converge. Pour cela, on pourra montrer que la série de terme général $t_{n+1}-t_n$ converge.
Montrer que $(t_n)$ converge vers un réel strictement négatif. En déduire que $s_n\sim{}\dfrac{(-1)^{n}\sqrt{n}}{2}$.
2) Etudier $(s_{2n})$ et $(s_{2n+1})$. Conclure.
Indication(s) fournie(s) par l'examinateur pendant l'épreuve
N.C.
Commentaires divers
L'indication de la question 1 de l'exercice 2 était écrite sur le sujet.
La question 2 de l'exercice 2 était plus précise.
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