Epreuve Orale 572

Informations de classement de l'épreuve
Année : 
2013
Filière : 
PSI
Concours : 
CCP
Matière(s) concernée(s) : 
Mathématiques
Type(s) de sujet(s) : 
Exercice
Mots-clés relatifs au contenu de l'épreuve : 
Algèbre linéaire, Polynôme, Séries numériques
Détails sur l'épreuve
Énoncé(s) donné(s)
Exercice 1 :
On considère l'endomorphisme $\varphi$ de $\mathbb{R}_n[X]$ tel que : $\varphi{}:P(X)\mapsto{}P(X+1)$.
1) Déterminer la matrice associée à $\varphi$ relativement à la base canonique de $\mathbb{R}_n[X]$. Montrer que cette application est inversible.
2) Déterminer la matrice associé à $\varphi^{-1}$ relativement à la base canonique de $\mathbb{R}_n[X]$.

Exercice 2 :
Soit la suite $(s_n)$ définie par : $\forall{}n\in\mathbb{N}^{*}$, $s_n=\displaystyle \sum_{k=1}^{n}{(-1)^{k}\sqrt{k}}$.
On définit la suite $(t_n)$ par : $\forall{}n\in\mathbb{N}^{*}$, $t_n=s_{n+1}+s_n$.
1) Montrer que la suite $(t_n)$ converge. Pour cela, on pourra montrer que la série de terme général $t_{n+1}-t_n$ converge.
Montrer que $(t_n)$ converge vers un réel strictement négatif. En déduire que $s_n\sim{}\dfrac{(-1)^{n}\sqrt{n}}{2}$.
2) Etudier $(s_{2n})$ et $(s_{2n+1})$. Conclure.

Indication(s) fournie(s) par l'examinateur pendant l'épreuve
N.C.
Commentaires divers
L'indication de la question 1 de l'exercice 2 était écrite sur le sujet.
La question 2 de l'exercice 2 était plus précise.
Qualité de ce compte-rendu
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