Énoncé(s) donné(s)
Exercice 1 : Soit $(a_n)$ une suite décroissante convergeant vers 0 et $(x_n)$ une suite telle que $\sum a_nx_n$ converge.
1) On suppose, uniquement dans cette question, que $(x_n)$ est à termes positifs.
Montrer que $\lim_{n \to \infty} a_n \sum_{k=1}^n x_k=0$.
2) Expliquer l'analogie entre transformation d'Abel et intégration par parties.
3) Montrer que $\lim_{n \to \infty} a_n \sum_{k=1}^n x_k=0$ (dans le cas général cette fois-ci).
4) La décroissance de la suite $(a_n)$ est-elle nécessaire au résultat précédent ?
Exercice 2 :
Soit $A \in M_n(\mathbb{R})$ telle que $A^3=A ^tA$.
Montrer que $A$ est diagonalisable dans $\mathbb{C}$.
Indication(s) fournie(s) par l'examinateur pendant l'épreuve
Pour la question 3) de l'exercice 1, il m'a demandé de le faire dans le cas continu (par une intégration par parties, en considérant l'analogie de la question précédente).
Commentaires divers
N.C.
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