Énoncé(s) donné(s)
Exercice 1 (6 pts)
Soit L une lentille convergente de distance focale f’, soit M un miroir plan. L et M sont distants de D=60 cm.
1) A l'aide du schéma, trouver les deux positions de A tels que son image à travers L U M U L se confonde avec A.
2) Sachant que ces deux positions sont distantes de 10 cm, calculer $f’$. Faire un dessin à l’échelle et vérifier la cohérence des résultats.
Exercice 2 (14 pts)
Soit un cylindre d’axe z, de rayon a et de hauteur L remplit d’un liquide incompressible et visqueux de masse volumique ρ. On a
v=v(r)
uz avec
uz vertical ascendant.
1) Etablir l’expression de la force de cisaillement exercée par le fluide extérieur sur le fluide intérieur de contour un cylindre de hauteur L et de rayon r,
Fcis= $\dfrac{6(2πrL)}{η}\dfrac{dv}{dr}$
uz (
je ne me souviens plus de l’expression exacte mais il y avait ces éléments).
2) Soit un cylindre vertical, en utilisant la relation fondamentale de la dynamique en régime permanent déterminer dv/dr puis v(r). On posera $P_m=P(z=0)-P(z=L)$.
3) En déduire $P_m$ en fonction de $D_m$.
4) Le cylindre est maintenant horizontal, on néglige alors la dépendance de la pression avec l’altitude. Que devient ce résultat ?
5) A.N. avec l’exemple d’un oléoduc. La pression au début du tuyau est de 75 bar (1 bar=10
5 Pa) (
j’ai demandé mais on considère qu’en sortie P=P0). On prend a=1m, ρ=850 kg/m
3, L=400 km, $D_m$=591,5 kg/s
. Commenter la valeur de η obtenue pour le pétrole.
6) L’oléoduc est alimenté par 5 pompes en parallèles de 1,2 MW chacune. Cohérence avec les valeurs trouvées précédemment ?
7) Je ne me souviens plus exactement mais ça ressemblait à : On se place en repère cartésien avec
v=v(x)
uz. Trouver l’expression de la force de viscosité surfacique, en déduire la volumique.
Commentaires :
Calculatrice TI type collège pendant la préparation mais calculatrice du candidat durant le passage au tableau (il y a une seule calculatrice prêtée alors qu’un autre candidat prépare pendant que l'on passe...).
Exercice 1 :
1)
$A_1$ à f’ de L et $A_2$ tel que les rayons sortant de la lentille tapent M en O.
2)
f’=20 cm et $A_2$ est plus éloigné de la lentille que $A_1$.
Exercice 2 :
3)
Attention à bien intégrer entre r=0 et r=a avec dS=2π r dr.
4)
$D_m=\dfrac{\rho P_m a^{3}\pi}{8L\eta}$.
5)
On trouve η=10,4 Pl.
6)
P=Fv mais on considère $v_{moyenne}$ pour ce calcul donc on repart de $D_m= ρ dS v_{moyenne}$ avec $dS= \pi a^2$. On trouve P=5 MW.
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