Base d'épreuves orales scientifiques de concours aux grandes écoles

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Epreuve Orale 525

Informations de classement de l'épreuve

Année : 2013

Filière : MP

Concours : CCINP (ou CCP)

Matière(s) concernée(s) : Mathématiques

Type(s) de sujet(s) : Exercice

Mots-clés relatifs au contenu de l'épreuve : Norme - Topologie

Détails sur l'épreuve Sources

Énoncé(s) donné(s)
Exercice 1 :
On se place dans l'ensemble $E$ des fonctions continues de $[0,1]$ dans $\mathbb{R}$. Pour $f\in E$, on pose $p_\infty(f) = \sup_{x\in[0,1]}|f(x)|$ et $p_1(f)=\int_0^1|f(x)|dx$.
1) a) Démontrer succinctement que ce sont des normes.
    b) Montrer qu'il existe $k>0$ tel que $\forall f\in E, p_1(f)\le k\,p_\infty(f)$.
    c) Montrer que tout ouvert de $p_1$ l'est pour $p_\infty$.
2) Montrer que ces deux normes ne sont pas équivalentes.

Exercice 2 :
Soit $A$ une matrice antisymétrique carrée d'ordre $n$ réelle. On note $I$ la matrice identité d'ordre $n$.
1) Montrer que les valeurs propres réelles de $A$ sont forcement nulles.
2) En déduire que $A+I$ et $A-I$ sont inversibles.
3) On pose $B=(A+I)(A-I)^{-1}$. Montrer que $B$ est orthogonale, que son déterminant est strictement positif, et que $B+I$ est inversible.
4) Montrer la réciproque : pour toute matrice $B$ réelle,orthogonale, à déterminant strictement positif et telle que $B+I$ soit inversible, il existe une matrice $A$, antisymétrique, réelle telle que $B=(A+I)(A-I)^{-1}$.

Indication(s) fournie(s) par l'examinateur pendant l'épreuve
Question : pourquoi, pour $f$, $g$ dans $E$, $\sup_{x\in[0,1]}\left(|f(x)| + |g(x)|\right) \le \sup_{x\in[0,1]} |f(x)| + \sup_{x\in[0,1]} |g(x)|$. Et si $f$ ou $g$ ne sont pas bornées ?
Pour la question 4), procéder par analyse synthèse.

Commentaires divers
N.C.

Commentaires

Roux.g
31/05/2014 à 22:05
Dans l'exercice 2, il faut lire partout I-A à la place de A-I