Base d'épreuves orales scientifiques de concours aux grandes écoles

Énoncé(s) donné(s)
1) On définit $f(x)=\int_{-\infty}^{+\infty} \frac{\sin t}{t} e^{-x^2 t} dt $.
  a) Montrer $D_f = \mathbb{R} $.
  b) Montrer que $f$ est continue sur $\mathbb{R}$.
2) On se donne $n$ hyperplans d'un espace vectoriel $E$ de dimension finie $n$.
  a) Montrer que $\dim\ \bigcap \limits _{i=1}^k  H_i \geq n-k$.
  b) On suppose qu'une application linéaire $f$ admet $n$ hyperplans stables avec $\bigcap \limits _{i=1}^n  H_i = \{0\}$. Montrer qu'alors $f$ est diagonalisable.
  c) Étudier la réciproque.

Indication(s) fournie(s) par l'examinateur pendant l'épreuve
1) Il y avait une erreur dans l'énoncé (manuscrit). L'examinateur m'a proposé de montrer que $f(x)=\int_{-\infty}^{+\infty} \frac{\sin t}{t} e^{-x^2 t} dt $ n'est définie qu'en zéro et ensuite d'étudier $f(x)=\int_{-\infty}^{+\infty} \frac{\sin t}{t} e^{-x^2 t^2} dt $.

Commentaires divers
Le premier exercice est donné avec une préparation de 30 minutes.
Le second est donné sans préparation.