Base d'épreuves orales scientifiques de concours aux grandes écoles

Énoncé(s) donné(s)
On considère $\mathbb{R}^n$ muni de sa base canonique et du produit scalaire canonique. Soit un endomorphisme $u$ et son adjoint $u^*$.

1°a) Déterminer le noyau et l'image de $u^*$ en fonction de ceux de $u$ .

1°b) Déterminer le noyau et l'image de $u^* \circ u$ en fonction du noyau de $u$.

1°c) Montrer qu'il existe un endomorphisme symétrique positif $w$ tel que $w^2=u^* \circ u$. On admet l'unicité. 

2°a) On suppose que $u$ est partiellement isométrique, i.e $\forall x \in (\ker u)^\bot $, $\| u(x) \| = \|x\|$ .

Montrer que $\forall x,y \in (\ker u)^\bot$, $\langle u(x)|u(y) \rangle = \langle x | y \rangle $ .

2°b) Montrer que $u^* \circ u$ est un projecteur sur $(\ker u)^\bot$ . 

Suite non traitée.

Indication(s) fournie(s) par l'examinateur pendant l'épreuve
N.C.
Commentaires divers

N.C.