Epreuve Orale 4695

Informations de classement de l'épreuve
Année : 
2018
Filière : 
MP
Concours : 
Centrale-Supélec
Matière(s) concernée(s) : 
Mathématiques
Type(s) de sujet(s) : 
Exercice
Mots-clés relatifs au contenu de l'épreuve : 
Endomorphisme, Probabilités
Détails sur l'épreuve
Énoncé(s) donné(s)
Soit $E=\mathbb{R}_N[X]$ avec $N\in\mathbb N^*$ et $f$ définie sur $E$ par :
                $\forall U\in E,\ f(U)=XU(X)-\frac 1N (X^2-1)U'(X).$
1. Montrer que $f$ est un endomorphisme de $E.$
   On note $M$ la matrice de $f$ dans la base canonique de $E.$
2. a) [$ \tt Python$] Écrire un programme qui renvoie $B_k=(X-1)^{N-k}(X+1)^k$ pour $0\leqslant k\leqslant N$.
    b) Écrire une fonction qui prend en argument un polynôme $P$ et renvoie $f(P).$
    c) Vérifier que $f(B_k)=\frac{2k-N}NB_k$ pour $0\leqslant k\leqslant N.$
3. Montrer que $\mathcal B=(B_0,\dots,B_N)$ est une base de $E.$
4. Écrire $D$ matrice de $f$ dans la base $\mathcal B.$
    On note $P=(p_{i,j})$ la matrice de passage de la base canonique $\mathcal C$ vers la base $\mathcal B.$
5. Montrer que $(M^{2n})_{n\in\mathbb N}$ converge vers une limite $L$ que l'on donnera en fonction de $P.$
6. a) Donner la première et dernière colonne de $P.$
    b) Donner la première et dernière ligne de $P^{-1}.$
    c) Calculer $L$.
7. On considère une urne contenant $r$ boules rouges et $b$ boules blanches. Quand on tire une blanche, on rajoute une rouge et on ne remet pas la blanche. De même, quand on tire une rouge on ne la remet pas et on rajoute une blanche.
    Exprimer les probabilités à la fin du tirage pour le nombre de boules rouges.
8. On répète l'expérience précédente $2n$ fois. Limite quand $n\to +\infty$ de la probabilité qu'il y ait à la fin $k$ boules rouges pour tout $k\in[\![0,N]\!]$ ?

Indication(s) fournie(s) par l'examinateur pendant l'épreuve
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