Epreuve Orale 4690

Informations de classement de l'épreuve
Année : 
2018
Filière : 
MP
Concours : 
Centrale-Supélec
Matière(s) concernée(s) : 
Informatique, Mathématiques
Type(s) de sujet(s) : 
Exercice
Mots-clés relatifs au contenu de l'épreuve : 
Maths 2, Polynôme, matrice nilpotente
Détails sur l'épreuve
Énoncé(s) donné(s)
1.a) Ecrire un programme python prenant en argument un polynôme $ P$ et une matrice $A$ et qui calcule $P(A)$.
1.b) On pose : 
$ N =\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} $
$ Q = 1 + X +X^{2}+ X^{3} $
Calculer $Q(N)$ puis comparer $Q(N)$ et $(I_4 -N)^{-1}$. Pouvait-on prévoir le résultat ? 
1.c) On pose :
$ M =\begin{pmatrix} 0 & 1 & 3  \\ 0 & 0 & 2  \\ 0 & 0 & 0   \end{pmatrix} $
$ R = 1 +\frac{1}{2} X - \frac{1}{8}X^{2} $
Calculer $R(M)^{2}$. Que constate-on ?
1.d) Trouver une matrice $M'$  nilpotente de taille 3x3 et non triangulaire. Calculer $R(M')^{2}$. Conjecturer.
2. Démontrer la conjecture des questions 1.c et 1.d.
Soit un entier $ n  \ge 2$. Soit $P_{n}$ un élément de $\mathbb{R}_{n-1}[X]$ tel que $\sqrt{1+x} = P_{n}(x) + o (x^{n-1}) $.
3. Calculer $P_{3}$.
4. Exprimer $P_{n}$ à l'aide des coefficients binomiaux.
5. Soit $N\in\mathcal M_n(\mathbb K)$ une matrice nilpotente. Montrer que $P_n(N)^2=N+I_n$.
6. Trouver toutes les matrices $A$ telles que $A^2=I_n+N$.
Indication donnée par l'énoncé : On pourra commencer par déterminer le commutant de $N$.







Indication(s) fournie(s) par l'examinateur pendant l'épreuve

Commentaires divers
Il restait une question 7 non abordée.
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