Énoncé(s) donné(s)
Exercice 1
Exercice 24 de la banque CCP.
Exercice 2
Soient $E$ un $\mathbb R$-espace vectoriel de dimension $n$ et $f\in\mathcal L(E)$ un endomorphisme de rang 1.
1. Montrer que$\quad \exists\lambda\in\mathbb R\quad f^2=\lambda f$.
2. A-t-on nécessairement $\mathrm{Im} f\oplus \mathrm{Ker} f= E$ ?
3. Montrer que les assertions suivantes sont équivalentes :
a. Il existe $c\in\mathbb R^*$ tel que $cf$ est une projection.
b. $f\circ f\neq 0$.
c. $\mathrm{Im} f\oplus \mathrm{Ker} f= E$.
4. Montrer que les assertions précédentes entraînent que $f$ est diagonalisable, et que $\mathrm{tr} f\neq 0$.
Indication(s) fournie(s) par l'examinateur pendant l'épreuve
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