Base d'épreuves orales scientifiques de concours aux grandes écoles

Epreuve Orale 4665

Année : 2018

Filière : MP

Concours : Centrale-Supélec

Matière(s) concernée(s) : Mathématiques

Type(s) de sujet(s) : Question de cours

Mots-clés relatifs au contenu de l'épreuve : Compacité - Espace vectoriel normé

Énoncé(s) donné(s)
Soit $E$ un espace vectoriel normé (||•|| étant une norme quelconque).
Soit $A$ un compact inclus dans $E$.

Montrer que $A \times A$ un compact.
Soit $f:A \to A$ tel que $\forall x, y \in A, x \not= y \Rightarrow || f(x)-f(y)||< || x- y||$. Montrer que $f$admet un unique point fixe.
Soit $f:A \to A$ tel que $\forall x, y \in A, || f(x)-f(y)|| \geqslant || x- y|| $. Montrer que $f$est bijective et préserve les distances (montrer que l'inégalité de l'hypothèse est en fait une égalité )

Indication(s) fournie(s) par l'examinateur pendant l'épreuve

Question 2 : on posera $g: x \mapsto || f(x) - x||$.

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