Soit $f: \mathbb R \rightarrow \mathbb R$ une fonction $2\pi$-périodique développable en série entière en tout point avec un rayon de convergence supérieur à $R$, où $R >0$.
On considère $\begin{array}[t]{crcl} g: & \mathbb R \ \times \ \left]-R,R\right[ & \longrightarrow & \mathbb C\\ & (x,s) & \longmapsto &\displaystyle\sum _{k =0}^{+\infty} \frac{f^{(k)}(x)}{k!}(is)^k\end{array}$
1) Montrer que $\displaystyle \frac{\partial g}{\partial x} = i \frac{\partial g}{\partial s}.$
2) Pour $n \in \mathbb{Z}$ , on pose $\displaystyle f_n = \frac{1}{2 \pi} \int_{0}^{2 \pi} f(x) \ \mathrm e^{-inx}\,\mathrm dx.$
Montrer que $\forall r \in [0, R], \ \exists M \in \mathbb{R} _+, \ \forall n \in \mathbb{Z}, \ |f_n| \leqslant M\mathrm e^{-|n|r}.$
Pour la 2), poser $\displaystyle f_n (r) = \frac{1}{2 \pi} \int_{0}^{2 \pi}g(x, r) \ \mathrm e^{-inx}\,\mathrm dx$ et étudier $g_n(r)=\mathrm e^{nr}f_n(r)$
Examinateur sympathique mais qui était plus intéressé par son ordinateur que par la résolution de l'exercice.
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