Énoncé(s) donné(s)$\boxed{\textbf{ Exercice 1 }\vphantom{|}}\vphantom{\displaystyle\int}$
Exercice 100 de la Banque CCP (probabilités).
$\boxed{\textbf{ Exercice 2 }\vphantom{|}}\vphantom{\displaystyle\int}$
Soit $E$ un $\mathbb{R}$-espace vectoriel de dimension finie $n.$
Soit $p$ un projecteur.
1) Exprimer $\det(I_E+\lambda p)$ en fonction de $\operatorname{rg}p$ et $\lambda$.
On pose $V=(a_1,a_2,\dots,a_n) \in \mathbb{R}^n$ et $B= \,^t\!VV.$
2) Déterminer $\operatorname{rg}B$.
3) Montrer que $B$ est diagonalisable. Calculer ses valeurs propres et la dimension de ses espaces propres.
4) On pose $M=(m_{i,j})$, avec $m_{i,j}=\begin{cases} 1+a_i^2 & \text{si } i = j \\ a_i a_j & \text{sinon} \end{cases}$.
Trouver $\det M$.
Indication(s) fournie(s) par l'examinateur pendant l'épreuve
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