$\boxed{\textbf{ Exercice 1 }\vphantom{f}}\vphantom{\displaystyle \int}$
Soit $n$ un entier naturel supérieur ou égal à $2$. Soit $\mathcal{E}$ l'ensemble des matrices $A \in \mathfrak M_{n}(\mathbb{R}) $ telles que $^{t}A=A^{2}+A-I_{n}$.
On appelle $a$ l'endomorphisme de $\mathbb{R}^{n}$ canoniquement associé à $A$.
1. Décrire $a$ si $A$ est symétrique, avec $A \in \mathcal{E}$.
2. Décrire $a$ si on ne suppose plus $A$ symétrique, avec $A \in \mathcal{E}$.
$\boxed{\textbf{ Exercice 2 }\vphantom{f}}\vphantom{\displaystyle \int}$
On note $a_{n}=\displaystyle \int_{0}^{1}\frac{1}{(2+t^2)^{n+1}}\,\mathrm dt$, $n \in\mathbb{N}$.
1. Donner le rayon de convergence de la série entière $\sum a_{n}x^{n}$.
2. Calculer la somme de cette série entière sur son domaine de convergence.
Indication(s) fournie(s) par l'examinateur pendant l'épreuve
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