Base d'épreuves orales scientifiques de concours aux grandes écoles

$\boxed{\textbf{ Exercice 1 }\vphantom{f}}\vphantom{\displaystyle \int}$
Soit $ \lambda $ un réel strictement positif, $(E)$ l'équation différentielle suivante :
               $(E):\quad x y'+\lambda y=\dfrac{1}{1+x} .$

1) Résoudre $(E)$ sur $ ]0,+\infty[ .$
2) Existe-t-il des solutions de $(E)$ ayant une limite finie en $ 0^{+} $ ?
3)Trouver les solutions développables en série entière de $(E)$.
4) Calculer la somme $\displaystyle  \sum_{n=0}^{+\infty}\frac{(-1)^n}{n+\lambda}.$

$\boxed{\textbf{ Exercice 2 }\vphantom{f}}\vphantom{\displaystyle \int}$
On considère l'espace vectoriel  $ E=\mathbb{R} ^{n} $.
Soit $F$ et $G$ deux sous-espaces supplémentaires dans  $E$,  $p$ le projecteur sur $ F$ parallèlement à $G$.
On définit $ C_{p} $ le commutant de $p$ défini par : 
$ C_{p}= \left \{ f\in \mathcal L(E)\ /\ f \circ p=p\circ f \right \}  $
Quelle est la dimension de $ C_{p} $ ?

Indication(s) fournie(s) par l'examinateur pendant l'épreuve
Commentaires divers