Base d'épreuves orales scientifiques de concours aux grandes écoles

Énoncé(s) donné(s)
Exercice 1 : exercice 23 d'analyse des exercices de cours.
On considère la série de fonctions de terme général $u_n$ définie par $\forall n\in \mathbb{N}\backslash\{0\},\forall x\in [0,1], u_n(x) = ln(1+\frac{x}{n}) - \frac{x}{n} $.
On pose, lorsque la série converge, $ S(x) =  \sum\limits_{n=1}^{+\infty}{u_n(x)} $.
1) Démontrer que $S$ est dérivable sur $[0,1]$.
2) Calculer $S'(1)$.
Indication : pensez à décomposer une fraction rationnelle en éléments simples.

Exercice 2 :
Soit $E$ espace euclidien, $p$ projecteur de $\mathcal{L}(E), p\neq 0, p\neq id$.
1)  Montrer les équivalences $ \begin{array}[t]{rcl} p~\text{orthogonal} & \Longleftrightarrow & \forall x \in E, \|p(x)\| \leq \|x\| \\ p~\text{orthogonal} & \Longleftrightarrow & \forall (x,y) \in E^2, < x|p(y) > = < p(x)|y > \end{array}$
2)  Soit $\|| p\|| = \sup\limits_{\substack{x\in E \\ x\neq 0}}{\frac{\|p(x)\|}{\|x\|}}$.
    a) Montrer que $\||p\|| \geq 1$.
    b) Montrer que $p$ orthogonal $\Longleftrightarrow \|| p\||= 1$.

Question subsidiaire pour finir l'oral : calcul de la norme infinie de  $\begin{array}[t]{rccl}
 f : & [0,1] & \rightarrow & \mathbb{R} \\
& x       & \rightarrow &\frac{x}{n(n+x)}
\end{array} $
(apparaît lors de la question 1 du premier exercice).

Indication(s) fournie(s) par l'examinateur pendant l'épreuve
N.C.
Commentaires divers
Examinateur peu attentif à la présentation orale mais très pointilleux sur ce qui est écrit au tableau. Ni lui ni moi n'avons compris l'intérêt de l'indication du premier exercice d'analyse.

Fichiers joints

• ccp.tex
• ccp.pdf