Oral X1
On se place dans l'espace vectoriel normé $l^2(\mathbb{Z})$ ( ie. les suites indexées par $\mathbb{Z}$ et bornées au sens de $\|u\|=\sqrt{\displaystyle\sum_{k \in \mathbb{Z}} u_{k}^2}$ )
On note $P$ L'ensemble des suites positives et $D$ l'ensemble des endomorphismes $T$ de $l^2(\mathbb{Z})$ tels qu'il existe une suite bornée $(t_{k})_{k \in \mathbb{Z}}$ tel que $\forall x \in P, T(x)=(t_{k}x_{k})_{k \in \mathbb{Z}}$
1) Montrer que les deux propositions suivantes sont équivalentes:
a) $T \in D$
b) $\exists \lambda \in \mathbb{R} \forall x \in P, \lambda x \pm T(x) \geq 0$
Question posée en cours d'exercice: trouver une application linéaire de $l^2(\mathbb{Z})$ dans $l^2(\mathbb{Z})$ qui ne soit pas continue.
2) On dit que $Q$ est un cône si:
- $Q$ est convexe
- $Q$ est fermé
- $\forall x \in Q \forall t \in \mathbb{R}_{+}, tx \in Q$
On note, pour $Q$ un cône, $A_{Q}$ l'ensemble des endomorphismes de $l^2(\mathbb{Z})$ tel que $\forall T \in A_{Q}, \exists \lambda \in \mathbb{R}, \forall x \in Q, \lambda x \pm T(x)\geq 0$
Montrer que $A_{Q}$ est une algèbre (pour la multiplication étant la composition)
Indication(s) fournie(s) par l'examinateur pendant l'épreuve
1) pour la réciproque, montrer le cas où $T$ est continue et commencer par un cas simple (où la suite $v$ est presque nulle, et raisonner avec la "base canonique")
Montrer ensuite que $v \longmapsto (t_{k}v_{k})$ est continue, on a alors deux applications continues coïncidant sur un ensemble dense de $l^2(\mathbb{Z})$.
J'ai reproduit l'énoncé tel qu'il était dicté, les formules avec des "$\pm$" sont à comprendre au sens que les deux relations sont vraies.
Aucun commentaire posté pour le moment