Énoncé(s) donné(s)Exercice 1
Soit $P \in \mathbb{R} [X]$ tel que $\forall x \in \mathbb{R}, \ P(x)\geqslant 0.$
1. Montrer que $P$ peut se décomposer comme suit :
$\prod_{i=1}^{n} (X-a_i)^{\alpha_i} \cdot \prod_{j=1}^{m} (X-\lambda_j)^{\beta_j} \cdot \prod_{k=1}^{m}(X-\bar{\lambda_j})^{\beta_j}$
avec $\alpha_i$ entier pair et $\lambda_j\in\mathbb C\setminus \mathbb R.$
2. Montrer que : $\exists A,B \in \mathbb{R}[X]$ tels que $P=A^2+B^2$
3. On note $Q=P+P'+P^{(2)}+\dots+P^{(n)}$ où $n$ est le degré de $P$.
Montrer que $Q$ vérifie $\forall x \in \mathbb{R}, \ Q(x) \geqslant 0$ .
Exercice 2
Soit $E$ l'espace des fonctions continues de $\mathbb{R}$ dans $\mathbb{R}^+$ tel que $\forall x \in \mathbb{R} \ , f(x) =\displaystyle \int_{0}^{x} \sqrt{f(t)} \ dt$ .
1. Montrer que, si $f\in E$, alors $f$ est croissante sur $\mathbb R$, et nulle sur $\mathbb{R}^-$ .
2. Montrer que, si $f\in E$ et ne s'annule pas sur un intervalle $I$, alors il existe $c$ tel que : $\quad\displaystyle\forall x \in I \quad f(x) =\frac{ (x-c)^2}4$.
3. Décrire $E$ totalement.
Indication(s) fournie(s) par l'examinateur pendant l'épreuve
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