Oral X2
Pour $A$ une partie de $\mathbb{R}$, on pose lorsque ceci est bien défini, $ \ell(A) = \displaystyle\inf_{( ]a_{i}, b_{i}[)_{i \in I}\text{ recouvrement de } A}\quad \sum_{i\in I} (b_{i} - a_{i}) $
1) Déterminer $\ell(A)$ lorsque $A = [a, b]$ avec $a < b$ réels.
2) Déterminer $\ell(\mathbb{Q}).$
Indication(s) fournie(s) par l'examinateur pendant l'épreuve
1) par double inégalité. Pour $\ell(A) \geqslant b-a$, considérer $x=\sup{ \{y\in[a, b] | [a, y] \text{ est recouvert par un nombre fini de } ]a_{i}, b_{i}[ \text{ à bornes entrelacées\} }}$. Montrer que $x=b$ ce qui ramène au cas, plus simple, où $( ]a_{i}, b_{i}[)_{i \in I}$ est un recouvrement à bornes entrelacées.
2) faire d'abord le cas $A=\mathbb{Q} \cap[0, 1]$. Considérer pour $r=\frac{p}{q}$ les intervalles $[\frac{p}{q} - \frac{\varepsilon}{q^3}, \frac{p}{q} + \frac{\varepsilon}{q^3}]$
Commentaires divers
Commentaires: examinateur plutôt neutre, mais qui n'écoutait pas trop ce que je disais. Par exemple au début il me donne un énoncé faux ( cas où $A$ est un sous-ensemble quelconque de $\mathbb{R}$ ), je commence à traiter le cas où $A$ est un segment, je donne quelques arguments, je me retourne pour voir si il avait quelque chose à dire; en fait il ne m'avait pas écouté et j'ai dû recommencer... Et de nombreuses fois où je formulais d'une manière différente que lui ce que je pensais il n'allait guère dans ma direction ce qui laissait une impression de flou dans mes arguments et ralentissait l'échange.
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