Énoncé(s) donné(s)
EXERCICE 1
Soient deux séries de terme général $a_n x^n$ et $b_n x^n$ telles que, pour tout $n$, $a_{n+1}=-a_n+b_n$ et $b_{n+1}=-3a_n-4b_n$. ( incertitude sur les signes)
Déterminer le rayon de convergence de ces deux séries entières et calculer leur somme.
EXERCICE 2
Soit l'espace vectoriel $M_n(\mathbb{R})$ muni du produit scalaire canonique défini par $(A,B) \mapsto \langle A|B\rangle = \text{Tr} ({}^t\!A\,B)$
1) Soient $A$ et $B$ dans $\text{O}_n(\mathbb{R})$.
Montrer que les applications suivantes sont des isométries de $M_n(\mathbb{R})$.
-
$M \mapsto AM$ ;
-
$M \mapsto MB$ ;
-
$M \mapsto AMB$.
2) Déterminer $d(M,H)$, où $H$ est le sous-espace des matrices de trace nulle .
Indication(s) fournie(s) par l'examinateur pendant l'épreuve
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