Énoncé(s) donné(s)
30 minutes de préparation et 30 minutes de passage.
Exercice 1 :$\begin{array}[t]{ccl} (\mathbb{R}_{+}^{*})^{n} & \rightarrow & \mathbb{R} \\ (x_{1}\, ;\dots; x_{n}) & \mapsto & \left ( \displaystyle \sum_{i=1}^{n} x_{i} \right )\left (\displaystyle \sum_{i=1}^{n} \frac{1}{x_{i}}\right ) \end{array}$
Question : Y a-t-il des extrema ? Si oui, lesquels ?
Exercice 2 :Soit $S = \left \{ A \in \mathfrak M_n(\mathbb C) \: |\, \forall X \in \mathfrak M_n(\mathbb C), \: \det(A+X) = \det(A) + \det(X) \right \}$.
On suppose $n\geqslant2 $.
1. Montrer que $S \neq \varnothing $.
2. Montrer que $A \in S \Rightarrow \det(A) = 0 $.
3. Montrer que $A \in S \Rightarrow A = 0 $.
Indication(s) fournie(s) par l'examinateur pendant l'épreuve
Il est plus utile d'utiliser les propriétés du déterminant plutôt que de se ramener aux valeurs propres de la matrice. On peut utiliser les matrices équivalentes.
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