Deux exercices avec préparation :
- Exercice n°15 de la banque CCP sur les convergences normale et uniforme.
- Exercice : Soit $A \in M_n (\mathbb R)$.
Soit $B = \begin{pmatrix} A & A \\ 0 & A \end{pmatrix} \in M_{2n} (\mathbb R)$.
1) Montrer que : $\forall P \in \mathbb R[X], P(B) = \begin{pmatrix} P(A) & AP'(A) \\ 0 & P(A) \end{pmatrix}$.
2) Donner les critères de diagonalisabilité faisant intervenir des polynômes.
3) a) Montrer que si B est diagonalisable, alors A est diagonalisable, puis que A = 0.
b) En déduire une condition nécessaire et suffisante pour que B soit diagonalisable.
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