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Epreuve Orale 4475

Informations de classement de l'épreuve

Année : 2018

Filière : MP

Concours : CCINP (ou CCP)

Matière(s) concernée(s) : Mathématiques

Type(s) de sujet(s) : Exercice - Question de cours

Mots-clés relatifs au contenu de l'épreuve : Algèbre - Analyse - Polynôme annulateur - Séries

Détails sur l'épreuve Sources

Énoncé(s) donné(s)

Exercice 1 : (ex 7 de la banque)
1. Soient $(u_{n})_{n\in \mathbb{N}}$ et $(v_{n})_{n\in \mathbb{N}}$ deux suites de nombres réels positifs.
On suppose que $(u_{n})_{n\in \mathbb{N}}$ et $(v_{n})_{n\in \mathbb{N}}$ sont non nulles à partir d'un certain rang. Montrer que :
$u_{n} \mathop{\sim}\limits_\infty v_{n} \Rightarrow \sum{u_{n}}$ et $\sum{v_{n}}$ sont de même nature.
 
2. Étudier la convergence de la série $\sum\limits_{n\geq2}\frac{((-1)^{n} + i) \ln{n} \sin{\frac{1}{n}}}{\sqrt{n + 3} - 1}$
Remarque : i désigne le nombre complexe de carré égal à -1.
 
Exercice 2 :
Soit $b\in\mathbb{R}$. On considère la matrice $J$ dont tous les coefficients diagonaux sont égaux à $b$ et où tous les autres coefficients sont égaux à 1.
1. a) Exprimer $J$ en fonction de la matrice dont tous les coefficients sont égaux à 1 et de $I_{n}$.
b) En déduire un polynôme annulateur de $J$ de degré 2.
2. Trouver les valeurs propres de $J$ et les dimensions des sous-espaces propres.
3. Déterminer $\det{J}$
 

Indication(s) fournie(s) par l'examinateur pendant l'épreuve

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