Énoncé(s) donné(s)Soit $G_{n}=\displaystyle \int_{0}^{+\infty} \mathrm e^{-t^2}t^{n}\,\mathrm dt. $
1. A l'aide de $\tt Python$ donner les valeurs de $G_{n}$ pour $n \, \in \, [\![0,30]\!]$.
2. Exprimer $G_{n}$ en fonction de $G_{0}$.
Écrire un programme $\tt Python$ pour calculer les termes pairs. Lequel des deux programmes donne la meilleur précision?
3. On pose $f(x)=\displaystyle \int_{0}^{1} \frac{\mathrm e^{x(1+t^2)}}{1+t^2}\,\mathrm dt.$
Montrer sans dériver $f$ que la fonction est définie continue croissante. Étudier les limites aux bornes.$
On pose $ h : x \mapsto \left (\displaystyle \int_{0}^{x}\mathrm e^{-t^2}\,\mathrm dt\right)^2.$
4. Calculer $G_{0}$. Indication donnée rapidement : relier $h(x)$ à $f(-x^2)$. On trouve $h(x)+f(-x^2)=\text{Cste}$.
5. Donner un équivalent de $ G_{n}.$
6. Calculer $ \displaystyle \int_{0}^{+\infty}\mathrm e^{-t^2}\cos(tx)\,\mathrm dt.$
Indication(s) fournie(s) par l'examinateur pendant l'épreuve
Commentaires divers
Le programme fourni approxime les intégrales, sa précision est indiquée, on remarque qu'elle diminue avec $n$.
Question 2, on discute suivant la parité de $n$.
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