Base d'épreuves orales scientifiques de concours aux grandes écoles

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Epreuve Orale 4456

Informations de classement de l'épreuve

Année : 2018

Filière : MP

Concours : ENS (non PSI)

Matière(s) concernée(s) : Mathématiques

Type(s) de sujet(s) : Exercice

Mots-clés relatifs au contenu de l'épreuve : Fonction de plusieurs variables - Matrice

Détails sur l'épreuve Sources

Énoncé(s) donné(s)
Soit $\begin{array}[t]{crcl}V: & \mathbb{R}^{n} & \longrightarrow & \mathbb{R}\\ & x=(x_1,\dots,x_n) & \longmapsto & \sum_{i=1}^{n-1}\exp(x_i-x_{i+1}) \end{array}$

On considère des fonctions de classe $\mathcal C^2$ sur $\mathbb{R}$ vérifiant pour tout $k \in [\![ 1,n]\!]$ $\ddot{x_k}=- \frac{\partial V}{\partial x_k}(x_1, \dots , x_n)$.
On pose $\forall k \in [\![1,n-1]\!],\ a_k=-\dot{\frac{x_k(t)}{2}}, b_k=\frac{1}{2}\exp(\frac{x_k-x_{k+1}}{2}).$
$J=\begin{pmatrix} a_1 & b_1 & 0 & ... & 0 \\ b_1& \ddots & \ddots & \ddots & \vdots \\ 0 & \ddots & \ddots & \ddots & 0 \\ \vdots & \ddots & \ddots & \ddots & b_{n-1} \\ 0 & \dots & 0 & b_{n-1} & b_{n}\end{pmatrix}$ et $\widetilde{J}$ la seule matrice antisymétrique qui a la même partie triangulaire inférieure que $J$.
Montrer que les valeurs propres de $J$ sont indépendantes de $t$.

Indication(s) fournie(s) par l'examinateur pendant l'épreuve
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